Предельное значение функции

Приведем эквивалентные определения предельного значения функции.

Пусть функция $ y=f(x) $ определена на некотором бесконечном множестве $ \{x\} $, и пусть $ a $ — точка бесконечной прямой $ (-\infty, +\infty) $, быть может и не принадлежащая множеству $ \{x\} $, но являющаяся его предельной точкой (т.е. в любой ее $ \delta $-окрестности имеются точки множества $ \{x\} $, отличные от $ a $).

Предел функции по Гейне. Число $ b $ называется пределом (или предельным значением) функции $ y=f(x) $ в точке $ a $ (или при $ x\to a $), если для любой последовательности значений аргумента $ x_1 $, $ x_2 $, …, $ x_n $, …, сходящейся к $ a $ и состоящей из чисел $ x_n $, отличных от $ a $, соответствующая последовательность значений функции $ f(x_1) $, $ f(x_2) $, …, $ f(x_n) $, … сходится к числу $ b $.

Предел функции по Коши. Число $ b $ называется пределом (или предельным значением) функции $ y=f(x) $ в точке $ a $ (или при $ x\to a $), если для любого положительного числа $ \varepsilon $ найдется отвечающее ему положительное число $ \delta=\delta(\varepsilon) $ такое, что для всех значений аргумента $ x $, удовлетворяющих неравенству $ 0<|x-a|<\delta $ справедливо неравенство

$$<br /> |f(x)-b|<\varepsilon<br /> $$

Для обозначения предельного значения функции $ y=f(x) $ в точке $ a $ используют следующую символику:

$$<br /> \lim_{x\to a}f(x)=b<br /> $$

или

$$<br /> f(x) \to b \quad \text{при} \quad x\to a<br /> $$