Сходимость числового ряда

Числовой ряд

$$<br /> u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

называется сходящимся, если существует конечный предел $ S = \lim_{n \to \infty} S_n $ последовательности его частичных сумм $ \{ S_n \} $, которые определяются как сумма $ n $ первых членов ряда:

$$<br /> S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k<br /> $$

Предел $ S $ последовательности частичных сумм $ \{ S_n \} $ называется суммой данного ряда.

Для сходящегося ряда формально можно записать равенство

$$<br /> S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

В случае, если предел $ \lim_{n \to \infty} S_n $ не существует, ряд называется расходящимся.