Интегрирование заменой переменной

Пусть $ f(x) $ — непрерывная функция. Если $ x $ можно представить как $ x=\varphi(t) $, где $ \varphi(t) $ — непрерывная вместе со своей производной $ \varphi'(t) $ функция, то справедлива формула интегрирования заменой переменной:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = \int f[\varphi(t)] \, \varphi'(t) \, dt $

Так как $ \varphi'(t) \, dt = d\varphi $, то формулу можно переписать в виде

$\displaystyle \int f(x) \, dx = \int f(\varphi) \, d\varphi $

Приведем обоснование указанных формул.

Пусть $ \int f(x) \, dx = F(x) + C $. Это значит, что $ F'(x) = f(x) $. Пусть теперь $ x = \varphi(t) $. Обозначим $ G(t) = F[\varphi(t)] $. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

$$<br /> g(t) = \frac{d}{dt} G(t) = \frac{d}{dt} F[\varphi(t)] = {} \\ {} = F'(\varphi) \, \varphi'(t) = f(\varphi) \, \varphi'(t)<br /> $$

Отсюда $ g(t) = f(\varphi) \, \varphi'(t) $. Так как $ \int g(t) \, dt = G(t) + C $, то

$$<br /> \int g(t) \, dt = \int f(\varphi) \, \varphi'(t) \, dt = G(t) + C = F[\varphi(t)] + C = F(x) + C = \int f(x) \, dx<br /> $$

Откуда непосредственно получаем искомую формулу:
$\displaystyle \int f[\varphi(t)] \, \varphi'(t) \, dt = \int f(x) \, dx $

См. также: 
Интегрирование по частям
Правило дифференцирования сложной функции