Теоремы

Формулировки теорем

Критерий Коши сходимости ряда

Для того чтобы ряд $ \sum_{k=1}^\infty u_k $ сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа $ \varepsilon $ нашелся номер $ N $ такой, что для всех номеров $ n $, удовлетворяющих условию $ n \geqslant N $ и для всех натуральных чисел $ p $ выполняется

$$<br /> \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k \right| < \varepsilon<br /> $$

Признак Даламбера

Если для всех $ k $ справедливо неравенство $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} \leqslant q < 1 $, то ряд $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty p_k $ со строго положительными членами $ p_k $ сходится. Если же $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} \geqslant 1 $, то ряд расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Для сходимости ряда $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty u_k $ необходимо, чтобы последовательность $ \{u_k\} $ членов этого ряда являлась бесконечно малой.

Принцип двустороннего ограничения

Пусть $ \{x_n\} $ и $ \{z_n\} $ — сходящиеся последовательности, имеющие общий предел $ L $. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности $ \{y_n\} $ удовлетворяют неравенствам

$ x_n \leqslant y_n \leqslant z_n $.

Тогда последовательность $ \{y_n\} $ сходится и имеет предел $ L $

Великая теорема Ферма

Уравнение $ x^n + y^n = z^n $ неразрешимо в целых $ x $, $ y $ и $ z $ при $ n>2 $.

RSS: отслеживать публикацию материалов